\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphics}
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}
\pagestyle{empty}
\voffset - 85pt
\hoffset - 70pt
\textwidth 450pt
\textheight 700pt
\parindent 0pt
\parskip 8pt
\begin{document}
\centerline{\LARGE A másodfokú egyenlet megoldóképlete}
Legyen $ax^2+bx+c=0$ egy másodfokú
egyenlet. ($a\ne 0, a,b,c \in \mathbb{R}$)
\textbf{Tétel:} A fenti egyenlet megoldásai:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
\textbf{Bizonyítás:} Az eredeti egyenletet leosztjuk
$a(\ne 0)$-val:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
Teljes négyzetté alakítunk:
$$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-
\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0$$
Közös nevezőre hozunk:
$$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-
\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=0$$
Akkor van megoldás, ha a diszkrimináns $D=b^2-4ac\ge 0$.
Ilyenkor
a konstans felfogható egy szám négyzeteként:
$$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-
\left(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2=0$$
Szorzattá alakítunk az $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
képlet alapján:
$$\left(
x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\right)\cdot
\left(
x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\right)=0$$
Egy szorzat akkor nulla,
ha valamelyik tényezője nulla,
ezért két megoldást kaptunk:
$$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
\end{document}
